动态规划解题方法

一、动态规划框架

1. 一些概念

动态规划问题的一般形式就是求最值。动态规划其实是运筹学的一种最优化方法，只不过在计算机问题上应用比较多，比如说让你求最长递增子序列呀，最小编辑距离呀等等。动态规划求解依靠的手段也是穷举，但相比于一般的搜索（回溯等）有区别，因为这类问题都存在重叠子问题，从而可以利用DP table 来优化穷举过程。而且，动态规划问题一定会具备「最优子结构」，才能通过子问题的最值得到原问题的最值。

动态规划与递归

动态规划是自底向上，递归树是自顶向下

为什么动态规划一般都脱离了递归，而是由循环迭代完成计算。

2. 最优子结构

经典问题：无权最短路径（最优子结构）、无权最长路径（不满足最优子结构）

最优子结构的理解非常重要，也有难度。

如果一个问题的最优解包含其子问题的最优解，我们就称此问题具有最优子结构。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——算法导论，15.3 动态规划原理

通俗来说就是：定义一个问题Ｑ，求目标解Ａ。如果我们找出的目标解 A 的同时， Q 的子问题的目标解同时也被找到，那么称问题Ｑ具有最优子结构

参考知乎上的一个回答。

举个简单的例子。下面是一个地图，我们要找一条从左下角（起点）到右上角（终点）、只向右和向上走的路径。

如果要让路径经过的数字总和最大，那么最优路径是下面这条：

可以验证，对于最优路径上的任意一点，最优路径从起点到该点的部分，也正是从起点到该点的所有路径中数字总和最大的那一条。这就叫「满足最优子结构」。

现在换一个「最优」的标准，要求路径经过的数字总和的绝对值最小。那么最优路径是下面这条：

但是，对于最优路径上 -4 这个点，最优路径从起点到该点的部分，却不是从起点到该点的所有路径中，数字总和的绝对值最小的那一条，因为下面这条路径上数字总和的绝对值更小：

这就叫「不满足最优子结构」。

常见的最优化问题，问法一般都是「最大」「最小」，不太会出现「绝对值最小」这种奇葩的最优化标准。而问「最大」「最小」的问题，一般都是满足最优子结构的。

3. 框架与步骤

状态定义：dp[i] 的值代表了什么…
转移方程：考虑有多少选择的可能，对每种选择各个状态转移的过程是怎么样的…
初始状态base case
返回值

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# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base
# 进行状态转移
for 状态1 in 状态1的所有取值：
    for 状态2 in 状态2的所有取值：
        for ...
            dp[状态1][状态2][...] = 求最值(选择1，选择2...)

二、状态定义

定义好状态，题目直接变清晰

最长递增子序列

300. 最长递增子序列

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public int lengthOfLIS(int[] nums) {
    if (nums == null) {
        return 0;
    }
    int len = nums.length;
    int res = 0;
    int[] dp = new int[len];
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[i] > nums[j])
                dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
        }
        res = Math.max(dp[i], res);
    }
    return res;
}

最大子序和

53. 最大子序和

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public int maxSubArray(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int[] dp = new int[n];
    dp[0] = nums[0];
    int res = dp[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        if (dp[i-1] > 0) {
            dp[i] = dp[i-1] + nums[i];
        } else {
            dp[i] = nums[i];
        }
        res = Math.max(dp[i], res);
    }
    return res;
}

俄罗斯套娃信封问题

354. 俄罗斯套娃信封问题

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class Solution {
    public int maxEnvelopes(int[][] envelopes) {
        int n = envelopes.length;
        Arrays.sort(envelopes, new Comparator<int[]>()
        {
            public int compare(int[] a, int[] b) {
                return a[0] == b[0] ?
                    b[1] - a[1] : a[0] - b[0];
            }
        });
        int[] height = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            height[i] = envelopes[i][1];
        }
        return lengthOfLIS(height);
    }

    /* 返回 nums 中 LIS 的长度 */
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int piles = 0, n = nums.length;
        int[] top = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            // 要处理的扑克牌
            int poker = nums[i];
            int left = 0, right = piles;
            // 二分查找插入位置
            while (left < right) {
                int mid = (left + right) / 2;
                if (top[mid] >= poker)
                    right = mid;
                else
                    left = mid + 1;
            }
            if (left == piles) piles++;
            // 把这张牌放到牌堆顶
            top[left] = poker;
        }
        // 牌堆数就是 LIS 长度
        return piles;
    }

}

三、状态转移

最长公共子序列

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public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
    int n1 = text1.length(), n2 = text2.length();
    int[][] dp = new int[n1 + 1][n2 + 1];
    for (int i = 1; i <= n1; i++) {
        for (int j = 1; j <= n2; j++) {
            if (text1.charAt(i - 1) == text2.charAt(j - 1)) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
            } else {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
            }
        }
    }
    return dp[n1][n2];
}

两个字符串的删除操作

583. 两个字符串的删除操作

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class Solution {
    public int minDistance(String word1, String word2) {
        int m = word1.length(), n = word2.length();
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[0][i] = i;
        }
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
}

编辑距离

72. 编辑距离

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public int minDistance(String word1, String word2) {
        int m = word1.length(), n = word2.length();
        int[][] dp = new int[m+1][n+1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            dp[0][i] = i;
        }
        for (int i = 0; i <= m; i++) {
            dp[i][0] = i;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= n; j++) {
                if (word1.charAt(i-1) == word2.charAt(j-1)) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j-1], dp[i-1][j]), dp[i-1][j-1]) + 1;
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }